Les nombres dérivés (29/08/2025)

Les nombres dérivés jouent un rôle fondamental en mathématiques, notamment dans l’étude des variations des fonctions. Ils permettent de comprendre comment une fonction évolue localement en mesurant la pente de sa courbe en un point donné. Cette notion est essentielle pour analyser des phénomènes variés, allant de la physique à l’économie, en passant par la modélisation scientifique. Dans cet article, nous explorerons les concepts clés liés aux nombres dérivés, leurs propriétés et leurs applications pratiques, tout en illustrant leur importance dans la compréhension des fonctions.

Définition du nombre dérivé

Le nombre dérivé d’une fonction en un point donné mesure la pente de la tangente à la courbe de cette fonction en ce point. Mathématiquement, il s’agit de la limite du taux d’accroissement lorsque l’intervalle tend vers zéro. Plus précisément, pour une fonction \( f \) définie sur un intervalle et un point \( a \) de cet intervalle, le nombre dérivé est défini par la limite :
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]
Cette limite, si elle existe, donne la valeur du nombre dérivé en \( a \).

Le nombre dérivé est un concept fondamental en analyse mathématique car il permet de quantifier la variation instantanée d’une fonction. Il est aussi appelé dérivée en un point et sert de base au calcul différentiel, qui étudie les variations des fonctions et leurs comportements locaux.

Interprétation géométrique

Géométriquement, le nombre dérivé correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction au point considéré. La tangente est la droite qui “touche” la courbe en ce point sans la couper localement. Ainsi, le nombre dérivé indique l’inclinaison de cette droite.

Si le nombre dérivé est positif, la fonction est croissante localement ; s’il est négatif, la fonction est décroissante. Un nombre dérivé nul signifie que la tangente est horizontale, ce qui peut correspondre à un extremum local (minimum ou maximum) ou un point d’inflexion.

Conditions de dérivabilité

Une fonction est dite dérivable en un point si la limite du taux d’accroissement existe et est finie. Cette condition implique que la fonction est localement “lisse” sans angle ni cassure en ce point. En revanche, une fonction peut être continue sans être dérivable.

Par exemple, la fonction valeur absolue \( f(x) = |x| \) est continue partout mais non dérivable en \( x=0 \) car la pente de la tangente n’est pas définie (angle pointu). La dérivabilité est donc une propriété plus forte que la continuité.

Calcul du nombre dérivé

Pour calculer le nombre dérivé en un point \( a \), on utilise la définition limite :
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]
Ce calcul peut être effectué en simplifiant l’expression du quotient avant de prendre la limite.

Dans la pratique, on utilise souvent les règles de dérivation (somme, produit, quotient, chaîne) pour trouver la fonction dérivée \( f'(x) \) puis on évalue cette fonction en \( a \). Cela évite de refaire la limite à chaque point.

Applications des nombres dérivés

Le nombre dérivé est utilisé pour étudier la variation des fonctions, déterminer les points où la fonction atteint un maximum ou un minimum, et analyser la concavité de la courbe. En physique, il représente des grandeurs comme la vitesse instantanée, qui est la dérivée de la position par rapport au temps.

En économie, il sert à calculer les taux de variation instantanés, par exemple la variation du coût ou du profit. Le nombre dérivé est donc un outil essentiel pour modéliser et comprendre les phénomènes changeants.

Notation et dérivées successives

Le nombre dérivé de la fonction \( f \) en \( x \) est noté \( f'(x) \) ou \( \frac{df}{dx}(x) \). En physique, on utilise parfois la notation de Newton avec un point au-dessus de la lettre, par exemple \( \dot{f} \) pour la dérivée par rapport au temps.

On peut aussi calculer la dérivée seconde \( f”(x) \), qui est la dérivée de la dérivée, et qui donne des informations sur la concavité de la fonction. Les dérivées successives permettent d’analyser plus finement le comportement local des fonctions.

Les nombres dérivés sont donc au cœur de l’analyse mathématique et de nombreuses applications pratiques. Leur compréhension permet d’appréhender les variations instantanées et d’étudier la forme des courbes avec précision. Maîtriser ce concept ouvre la porte à l’étude approfondie des fonctions et à leur modélisation dans divers domaines scientifiques et techniques.