Les limites en mathématiques (28/08/2025)

Les limites en mathématiques sont un concept fondamental qui permet de comprendre le comportement d’une fonction lorsque la variable approche une certaine valeur. Elles sont à la base de notions plus avancées comme la continuité, la dérivation ou l’intégration. Comprendre les limites, c’est saisir comment les mathématiques décrivent des phénomènes de changement et d’approche, essentiels dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. Cet article explore les définitions, les propriétés et les applications des limites pour mieux appréhender cette notion clé.

Définition des limites en mathématiques

La notion de limite en mathématiques permet de décrire le comportement d’une fonction ou d’une suite lorsque la variable approche une certaine valeur, finie ou infinie. Plus précisément, on dit que la fonction \( f(x) \) tend vers une limite \( L \) lorsque \( x \) tend vers un point \( p \) si les valeurs de \( f(x) \) se rapprochent arbitrairement de \( L \) quand \( x \) se rapproche de \( p \). Cette idée est formalisée par la notation :
\[ \lim_{x \to p} f(x) = L \]

Cette définition s’applique aussi bien pour des limites finies (quand \( p \) est un nombre réel) que pour des limites à l’infini (quand \( x \to +\infty \) ou \( x \to -\infty \)).

La limite exprime donc une tendance ou un comportement asymptotique, sans que la fonction ait nécessairement une valeur définie en ce point. Par exemple, la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) tend vers 0 quand \( x \to +\infty \), même si elle ne vaut jamais 0.

Limites finies et limites infinies

Une limite finie correspond à une situation où la fonction tend vers un nombre réel précis lorsque la variable approche un point donné. Par exemple,
\[ \lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7 \]
car en remplaçant \( x \) par 2, on obtient directement 7.

À l’inverse, une limite infinie signifie que la fonction croît ou décroît sans borne lorsque la variable approche un point ou tend vers l’infini. Par exemple,
\[ \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty \]
indique que \( x^2 \) devient arbitrairement grand quand \( x \) augmente.

Ces deux types de limites permettent d’analyser le comportement local ou global des fonctions, notamment pour étudier leur croissance, décroissance ou asymptotes.

Limites à gauche et à droite

Pour certains points, la limite peut différer selon que l’on approche ce point par des valeurs plus petites (limite à gauche) ou plus grandes (limite à droite). On parle alors de limites latérales. Par exemple, la fonction valeur absolue divisée par \( x \), \( f(x) = \frac{|x|}{x} \), a :
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1 \]

Cela montre que la limite en 0 n’existe pas car les deux limites latérales sont différentes. Cette distinction est essentielle pour comprendre la continuité et les discontinuités des fonctions.

Les limites à gauche et à droite sont souvent notées respectivement \( \lim_{x \to p^-} f(x) \) et \( \lim_{x \to p^+} f(x) \).

Règles de calcul des limites

Le calcul des limites repose sur plusieurs propriétés fondamentales qui facilitent leur évaluation. Parmi celles-ci :
– La limite d’une somme est la somme des limites (si elles existent).
– La limite d’un produit est le produit des limites.
– La limite d’un quotient est le quotient des limites, à condition que le dénominateur ne tende pas vers zéro.

Par exemple, pour calculer
\[ \lim_{x \to 2} (3x + 2)(x^2 – 5) \]
on calcule séparément :
\[ \lim_{x \to 2} (3x + 2) = 8 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 2} (x^2 – 5) = -1 \]
puis on multiplie : \( 8 \times (-1) = -8 \).

Ces règles permettent de décomposer des expressions complexes en éléments plus simples pour déterminer la limite globale.

Limites et continuité

La notion de limite est étroitement liée à celle de continuité d’une fonction. Une fonction est continue en un point \( p \) si la limite de la fonction en ce point existe et est égale à la valeur de la fonction en \( p \) :
\[ \lim_{x \to p} f(x) = f(p) \]

Si cette condition n’est pas remplie, la fonction présente une discontinuité en \( p \). Par exemple, une fonction définie par morceaux peut avoir des limites différentes à gauche et à droite, ce qui crée une discontinuité de saut.

Comprendre les limites est donc essentiel pour étudier la continuité, la dérivabilité et le comportement local des fonctions.

Applications des limites en analyse

Les limites sont à la base de nombreux concepts en analyse mathématique, notamment la définition de la dérivée et de l’intégrale. La dérivée d’une fonction en un point est définie comme la limite du taux de variation lorsque l’intervalle tend vers zéro :
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]

De même, l’intégrale définie est construite à partir de limites de sommes de Riemann. Les limites permettent aussi d’étudier le comportement asymptotique des fonctions, d’analyser les suites numériques, et de résoudre des problèmes en physique, économie, et ingénierie.

Ainsi, maîtriser les limites est fondamental pour progresser en mathématiques et dans leurs applications.

Les limites en mathématiques constituent un outil puissant pour comprendre le comportement des fonctions et des suites. Elles permetten