Les fonctions linéaires (26/08/2025)

Une fonction linéaire est une fonction mathématique simple qui associe à chaque nombre réel \( x \) un nombre \( y \) proportionnel, selon la formule \( f(x) = ax \), où \( a \) est un coefficient réel appelé coefficient de proportionnalité. Ces fonctions traduisent des situations de proportionnalité et leur représentation graphique est une droite passant par lorigine du repère. Comprendre les fonctions linéaires est essentiel pour aborder de nombreux concepts en mathématiques et en sciences .

Définition des fonctions linéaires

Une fonction linéaire est une fonction mathématique qui s’exprime sous la forme f(x) = ax, où a est une constante appelée coefficient de linéarité ou coefficient directeur. Cette fonction associe à chaque nombre réel x un nombre réel f(x) obtenu en multipliant x par a. Contrairement à une fonction affine, la fonction linéaire ne comporte pas de terme constant, ce qui signifie que sa représentation graphique passe toujours par l’origine du repère.

Le coefficient a détermine la pente de la droite. Si a > 0, la fonction est croissante, c’est-à-dire que f(x) augmente lorsque x augmente. Si a < 0, la fonction est décroissante, donc f(x) diminue lorsque x augmente. Cette propriété est essentielle pour comprendre le comportement des fonctions linéaires dans divers contextes mathématiques et pratiques.

Propriétés fondamentales

Une fonction linéaire possède plusieurs propriétés importantes. Tout d’abord, elle est une fonction de proportionnalité, ce qui signifie que le rapport entre l’image et l’antécédent est constant : \( \frac{f(x)}{x} = a \) pour tout x ≠ 0. Cette propriété traduit que la fonction conserve la proportionnalité entre les valeurs de départ et d’arrivée.

Ensuite, la fonction linéaire est caractérisée par le fait que son image de 1 est égale à son coefficient : f(1) = a. Cela permet de déterminer facilement le coefficient directeur en connaissant l’image d’un seul point. Enfin, la fonction linéaire est toujours définie sur l’ensemble des nombres réels, ce qui signifie que son domaine et son image sont tous deux égaux à \(\mathbb{R}\).

Représentation graphique

La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère. Cette droite est entièrement déterminée par son coefficient directeur a, qui correspond à la pente de la droite. Plus la valeur absolue de a est grande, plus la droite est inclinée. Si a = 0, la fonction est constante et la droite est horizontale.

Pour tracer la droite, il suffit de connaître deux points, par exemple (0,0) et (1, a). La droite passe obligatoirement par l’origine, ce qui est une caractéristique distinctive des fonctions linéaires par rapport aux fonctions affines. La pente indique si la droite monte (fonction croissante) ou descend (fonction décroissante) lorsque l’on se déplace vers la droite.

Différence entre fonction linéaire et fonction affine

La fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine. En effet, une fonction affine s’écrit sous la forme f(x) = ax + b, où b est une constante appelée ordonnée à l’origine. Lorsque b = 0, la fonction affine devient une fonction linéaire.

La différence principale réside donc dans le fait que la fonction linéaire passe toujours par l’origine, tandis que la fonction affine peut croiser l’axe des ordonnées en un point quelconque. Cette distinction est importante pour comprendre les différents types de relations linéaires que l’on peut modéliser en mathématiques.

Applications des fonctions linéaires

Les fonctions linéaires sont très utilisées pour modéliser des situations de proportionnalité dans la vie courante. Par exemple, elles permettent de calculer des coûts proportionnels à une quantité, comme le prix d’un produit en fonction du nombre d’unités achetées, ou la distance parcourue en fonction du temps à vitesse constante.

Elles sont également employées en sciences et en économie pour représenter des relations simples entre deux variables. Leur simplicité et leur clarté graphique facilitent l’analyse et la résolution de problèmes pratiques, notamment dans les domaines de la physique, de la finance et de la statistique.

Calcul du coefficient directeur

Pour déterminer le coefficient directeur a d’une fonction linéaire, il suffit de connaître l’image de 1 par la fonction, c’est-à-dire a = f(1). Si on dispose de deux points distincts (x_1, y_1) et (x_2, y_2) appartenant à la droite, on peut aussi calculer a par la formule :
\( a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \).

Cette méthode permet de retrouver l’expression de la fonction linéaire à partir de données expérimentales ou graphiques. Elle est essentielle pour modéliser une relation proportionnelle à partir d’observations concrètes.

Les fonctions linéaires sont des outils mathématiques fondamentaux qui traduisent des relations de proportionnalité simples. Leur forme f(x) = ax et leur représentation graphique en droite passant par l’origine facilitent leur compréhension et leur utilisation. Elles interviennent dans de nombreux domaines pour modéliser des phénomènes où une grandeur varie de manière constante par rapport à une autre. Maîtriser les fonctions linéaires est donc une étape clé pour aborder des concepts mathématiques plus complexes.